Hogyan lehet kiszámítani a vektorokra épített paralelogram területét?
Bármely két nem -lineáris és nem nulla vektorra egy parallelogram készíthető. Ez a két vektor párhuzamos képet fog összehúzni, ha az eredetüket egy ponton összevonják. Végezze az ábra oldalát.
Használati útmutató
1
Keresse meg a vektorok hosszát, ha a koordináták megadva vannak. Legyen például az A vektor koordinátái (a1, a2) a síkban. Akkor az A vektor hossza | A | = √ (a1² + a2²). Hasonlóképpen megtaláljuk a B vektor modulját: | B | = √ (b1² + b2²), ahol b1 és b2 a B vektor koordinátái a síkon.
2
A párhuzamos diagram területét az S = | A | 1. A koszinusz kifejezhető a vektorok koordinátákban megadott skaláris szorzatával.
3
Az A vektor skaláris szorzatát a B vektor jelöli (A, B). Definíció szerint egyenlő: (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). És a koordinátákban a skaláris szorzat így van írva: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Itt fejezhetjük ki a vektorok közötti szög koszinuszát: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). A számlálóban a skaláris szorzó, a nevezőben a vektorok hossza.
4
Most a szinuszot kifejezhetjük a fő trigonometrikus identitás alapján: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Ha feltételezzük, hogy a vektorok közötti α szög akut, akkor a szinusz mínusz elhagyható, csak a pluszjelet hagyva, mivel az akut szög szinusza csak pozitív lehet (vagy nulla nulla szögnél, de itt a szög nem nulla, ez a feltétel jelenik meg) a vektorok nem-lineáris jellege).
5
Most a szinuszképletben a koszinusz koordináta kifejezését kell felváltanunk. Ezt követően csak az eredményt írja be a paralelogram terület képletébe. Ha mindez megtörténik, és a numerikus kifejezés egyszerûsödik, akkor kiderül, hogy S = a1 • b2-a2 • b1. Így az A (a1, a2) és B (b1, b2) vektorokra felépített párhuzamos diagram területét az S = a1 • b2-a2 • b1 képlettel lehet meghatározni.
6
Az így kapott kifejezés az A és B vektor koordinátáiból álló mátrix meghatározója: a1 a2b1 b2.
7
Valójában annak érdekében, hogy megkapjuk a második dimenzió mátrixának meghatározóját, meg kell szorozni a fő átló elemeit (a1, b2), és ebből le kell vonni az oldalátló átmeneti elemeinek szorzatát (a2, b1).