Hogyan lehet megoldani az egyenleteket gyökerekkel?
Videó: EGYENLETEK MEGOLDÁSA 2024, Július
Az egyenletekben néha a gyökér jele van. Sok hallgatónak úgy tűnik, hogy nagyon nehéz megoldani az ilyen egyenleteket „gyökerekkel”, vagy - helyesebben fogalmazva - irracionális egyenletekkel, de ez nem így van.
Használati útmutató
1
Más típusú egyenletektől, például a kvadratikus vagy lineáris egyenletrendszerektől eltérően, nincs szabványos algoritmus az egyenletek gyökerekkel történő megoldására, vagy pontosabban az irracionális egyenletekre. Minden egyes esetben ki kell választani a legalkalmasabb megoldási módszert az egyenlet "megjelenése" és jellemzői alapján.
Az egyenlet egy részének megemelése azonos mértékben.
Leggyakrabban az egyenletek gyökerekkel (irracionális egyenletek) történő megoldására az egyenlet mindkét oldalának megegyező megemelését használják. Általános szabály, hogy a gyökér fokával megegyező mértékben (négyzet alakú gyökérre, kocka köbös gyökérre). Nem szabad megfeledkezni arról, hogy amikor az egyenlet bal és jobb oldalát egyenletesen emeli, lehet, hogy „extra” gyökerei vannak. Ezért ebben az esetben ellenőrizni kell a kapott gyökereket, helyettesítve őket az egyenletben. Különös figyelmet kell fordítani a négyzet alakú (páros) gyökér egyenletek megoldásakor a változó megengedett értékeinek tartományára (ODZ). Időnként az ODL becslése önmagában elegendő az egyenlet megoldásához vagy jelentősen egyszerűsítéséhez.
Egy példa. Oldja meg az egyenletet:
√ (5x-16) = x-2
Az egyenlet mindkét oldalát négyzettel jelöljük:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², ahonnan egymás után kapjuk meg:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
A kapott kvadratikus egyenlet megoldásával találjuk meg a gyökereit:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Kicserélve mindkét talált gyökeret az eredeti egyenletre, megkapjuk a helyes egyenlőséget. Ezért mindkét szám az egyenlet megoldása.
2
Módszer új változó bevezetésére.
Időnként kényelmesebb új változók bevezetésével megtalálni az „egyenlet gyökérrel” (irracionális egyenlet) gyökereit. Valójában ennek a módszernek a lényege egyszerűen a megoldás kompaktabb rekordjára redukálódik, azaz Ahelyett, hogy minden alkalommal terjedelmes kifejezést írna, helyébe egy legenda lép.
Egy példa. Oldja meg az egyenletet: 2x + √x-3 = 0
Ezt az egyenletet úgy oldhatja meg, hogy mindkét oldalát négyzetre osztja. Maguk a számítások azonban meglehetősen nehézkesnek tűnnek. Egy új változó bevezetésével a döntési folyamat sokkal elegánsabb lesz:
Bemutatunk egy új változót: y = √ x
Ezután megkapjuk a szokásos kvadratikus egyenletet:
2y² + y-3 = 0, y változóval.
A kapott egyenlet megoldásánál két gyökér található:
y1 = 1 és y2 = -3 / 2, helyettesítve a talált gyökereket az új (y) kifejezés kifejezésében, az alábbiakat kapjuk:
√ x = 1 és √ x = -3 / 2.
Mivel a négyzetgyök értéke nem lehet negatív szám (ha nem érinti a komplex számok területét), akkor az egyetlen megoldást kapjuk:
x = 1.