Hogyan lehet megoldani az egyenletrendszereket?

Az egyenletek rendszerét nem nehéz megoldani a lineáris egyenletek rendszerének megoldására szolgáló alapvető módszerekkel: a helyettesítési módszerrel és az addíciós módszerrel.

Használati útmutató

1

Fontoljuk meg az egyenletrendszer megoldásának módszereit két olyan ismeretlen értékű lineáris egyenletrendszer példájának felhasználásával. Általánosságban az ilyen rendszert a következőképpen írják (a bal oldalon az egyenleteket göndör zárójelgel kombinálják):

ax + b = c

dx + ey = f, ahol

a, b, c, d, e, f az együtthatók (specifikus számok), és x és y, mint általában, ismeretlenek. Az a, b, c, d számokat ismeretlen koefficienseknek, c és f szabad kifejezéseknek nevezzük. Az ilyen egyenletrendszer megoldását két fő módszerrel találja meg.

Az egyenletrendszer megoldása helyettesítő módszerrel.

1. Vegyük az első egyenletet, és az ismeretlenek egyikét (x) együtthatókkal és a másik ismeretlent (y) fejezzük ki:

x = (egymás után) / a

2. Helyezze az x-re kapott kifejezést a második egyenletre:

d (c-by) / a + ey = f

3. A kapott egyenlet megoldásával megtaláljuk az y kifejezést:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Helyezze a kapott y kifejezést az x kifejezésre:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Példa: meg kell oldania az egyenletrendszert:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Keresse meg x értékét az első egyenletből:

x = (2y + 4) / 3

Helyezze a kapott kifejezést a második egyenletre, és kapja meg az egyenletet egy (y) változóval:

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, honnan származik:

y = 1

Most az y változó kifejezésében szereplő talált y értéket helyettesítjük:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Válasz: x = 2, y = 1.

2

Az egyenletrendszer megoldása az összeadás (kivonás) módszerével.

Ez a módszer az egyenlet mindkét oldalát megszorozza számokkal (paraméterekkel) oly módon, hogy ennek eredményeként az egyik változó együtthatói egybeesnek (esetleg az ellenkező jelzéssel).

Általános esetben az első egyenlet mindkét oldalát meg kell szorozni (-d) -vel, a második egyenlet mindkét oldalát pedig a-val. Ennek eredményeként kapjuk:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

A kapott egyenletek hozzáadásával nyerjük:

-bdu + aeu = -cd + af, honnan kapjuk az y változó kifejezését:

y = (af-cd) / (ae-bd), helyettesítve az y kifejezést a rendszer bármely egyenletében, a következőt kapjuk:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

ebből az egyenletből a második ismeretlent találjuk:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Egy példa. Oldja meg az egyenletrendszert az alábbiak összeadásával vagy kivonásával:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Szorozzuk meg az első egyenletet (-1) -vel, a második pedig 3-tal:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Összeadva (kifejezés szerint) mindkét egyenletet, megkapjuk:

11y = 11

Hol jutunk el:

y = 1

A kapott y értéket bármelyik egyenlettel helyettesítjük, például a másodikval kapjuk:

3x + 9 = 15, honnan

x = 2

Válasz: x = 2, y = 1.