Hogyan keressük meg a kör alakú szegmens területét?

Az egyik leggyakoribb geometriai probléma egy kör alakú szegmens területének kiszámítása - egy körnek egy húrlal határolt része és egy körív megfelelő húrja.

A kör alakú szegmens területe megegyezik a megfelelő kör alakú szektor és a háromszög területének a különbségével, amelyet a szektor megfelelő szegmensének sugarai és a szegmenst összekötő húr sugarai alkotnak.

1. példa

A kör húzódó akkord hossza megegyezik a értékével. Az akkordnak megfelelő ív fokmérője 60 °. Keresse meg a kör alakú szegmens területét.

döntés

A két sugárból és egy akkordból álló háromszög egyenlő szélességű, tehát a középső szög felső részétől az akkord által alkotott háromszög oldalához húzott magasság a középső szög felezője lesz, felére csökkentve és a medián felére csökkentve, az akkord felére csökkentve. Tudva, hogy a derékszögű háromszög szögének szinuszszáma egyenlő az ellenkező oldal és a hipotenusz arányával, kiszámolhatjuk a sugarat:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Az adott szögnek megfelelő szektor területét az alábbi képlettel lehet kiszámítani:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Az ágazatnak megfelelő háromszög területét a következőképpen kell kiszámítani:

S ▲ = 1/2 * ah, ahol h a középső szög tetejétől az akkordig húzott magasság. A Pitagorasi tétel szerint h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Ennek megfelelően S ▲ = √3 / 4 * a².

A szegmens területe, amelyet Sseg = Sc - S ▲-ként számítunk ki, egyenlő:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Az a helyett numerikus érték helyettesítésével könnyen kiszámítható a szegmens terület numerikus értéke.

2. példa

A kör sugara megegyezik a-val. A szegmensnek megfelelő ív fokmérője 60 °. Keresse meg a kör alakú szegmens területét.